Справочник конструктора-машиностроителя. Элементы сопротивления материалов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Пружины
Уплотнительные устройства

Готовые шпаргалки! Всего 1103 комплектов по 298 предмету(ам)

Элементы сопротивления материалов

9. Значение модуля продольной упругости E, модуля сдвига G и коэффициента Пуассона m
(при температуре ~ 20 °С)

Материал	Модули, МПа		Коэффициент Пуассона, ¸
Материал	E	G	Коэффициент Пуассона, ¸
Сталь	(1,86 ¸ 2,1) · 10⁵	(7,8 ¸ 8,3) · 10⁴	0,25 - 0,33
Чугун:
серый	(0,78 ¸ 1,47) · 10⁵	4,4 · 10⁴	0,23 - 0,27
серый модифицированный	(1,2 ¸ 1,6) · 10⁵	(5 ¸ 6,9) · 10⁴	-
Медь техническая	(1,08 ¸ 1,3) · 10⁵	4,8 · 10⁴	-
Бронза:
оловянная	(0,74 ¸ 1,22) · 10⁵	-	0,32 - 0,35
безоловянная	(1,02 ¸ 1.2) · 10⁵	-	-
Латунь алюминиевая	(0,98 ¸ 1,08) · 10⁵	(3,6 ¸ 3,9) · 10⁴	0,32 - 0,34
Алюминиевые сплавы	(0,69 ¸ 0,705) · 10⁵	2,6 · 10⁴	0,33
Магниевые сплавы	(0,4 ¸ 0,44) · 10⁵	-	0,34
Никель технический	2,5 · 10⁵	7,35 · 10⁴	0,33
Свинец технический	(0,15 ¸ 0,2) · 10⁵	0,7 · 10⁴	0,42
Цинк технический	0.78 · 10⁵	3,2 · 10⁴	0,27
Кладка из кирпича	(0,24 ¸ 0,3) · 10⁴	-	-
Бетон (при временном сопротивлении) (1 - 2 МПа)	(1,48 ¸ 2,25) · 10⁴	-	0,16 - 0,18
Железобетон обычный:
сжатые элементы	(1,8 ¸ 4,2) · 10⁴	-	-
изгибаемые элементы	(1,07 ¸ 2,64) · 10⁴	-	-
Древесина всех пород:
вдоль волокон	(8,8 ¸ 15,7) · 10⁴	(4,4 ¸ 6,4) · 10²	-
поперек волокон	(3,9 ¸ 9,8) · 10⁴	(4,4 ¸ 6,4) · 10²	-
Фанера авиационная 1-го сорта:
вдоль волокон	12,7 · 10³	-	-
поперек волокон	6,4 · 10³	-	-
Текстолит (ПТ, ПТК, ПТ-1)	(5,9 ¸ 9,8) · 10³	-	-
Гетинакс	(9,8 ¸ 17,1) · 10³	-	-
Винипласт листовой	3,9 · 10³	-	-
Стекло	(4,9 ¸ 5,9) · 10⁴	(2,05 ¸ 2,25) · 10³	0,24 - 0,27
Органическое стекло	(2,8 ¸ 4,9) · 10³	-	0,35 - 0,38
Бакелит без наполнителей	(1,96 ¸ 5,9) · 10³	(6,86 ¸ 20,5) · 10²	0,35 - 0,38
Целлулоид	(1,47 ¸ 2,45) · 10³	(6,86 ¸ 9,8) · 10²	0,4
Каучук	0,07 · 10⁴	2 · 10³	-
Стеклопласт (СВАМ1) вдоль волокон	3,4 · 10⁴	(3,5 ¸ 3,9) · 10³	-
Капрон	(1,37 ¸ 1,96) · 10³	-	-
Фторопласт Ф-4	(4.6 ¸ 8,3) · 10³	-	-

10. Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур

(Моменты инерции J даны для главных центральных осей. Радиус инерции i=√(J/F), где F - площадь сечения)

Форма поперечного сечения

Осевой момент инерции J, см⁴

Момент сопротивления W, см³

Радиус инерции i, см

Круг

J_x=J_y =pd⁴/64=pr²/4
J_x=J_y»0,05d⁴

W_x=W_y =pd³/32=pr²/4
W_x=W_y»0,1d³

i_x=i_y=d/4=r/2

Кольцо

c=	d₁
	d

J_x=J_y=
=p(d⁴-d₁⁴)/64=
pd⁴(1-c⁴)/64

J_x=J_y=
=pr⁴(1-c⁴)/4

J_x=J_y»0,05d⁴(1-c⁴)

W_x=W_y =pd³(1-c⁴)/32
W_x=W_y»0,1d³(1-c⁴)

i_x= i_y=√(d² + d₁²)/4

Тонкостенное кольцо

s£	D
	10

J_x=J_y=pD³s/8
J_x=J_y=pr³s

W_x=W_y =pD³s/4
W_x=pr²s

i_x=i_y=(D√2)/4=0,353D

Полукруг

v₀=	2d	=0,2122d=0,4244r
	3p

J_x=0,0068d⁴»0,110r⁴
J_y=pD⁴/128»0,025d⁴

M_x=-Mz/l (0 £ z £ a)
M_x=-M(1-z/l) (0 £ z £ l)
при a=1/2 M_xmax=M/2

i_x=i_min»0,132d
t_y=d/4

Круговой сегмент

v₀=	c³	=	4 rsin³(a/2)
	12F		3(a^op/180^o-sina)

J_u=Sr³/8 - r⁴sinacosa/8
Jx=Ju-Fv²e
J_y=r⁴/8 [pa^o/180^o - sina - 2sinasin²(a/2)/3]

W_x=J_x/(r - v₀)

i_min=i_x=√(J_x/F)

Примечания:
с=2rsina/2
S=pra^o/180^o

Круговой сектор

v₀=	4	r sin	a180^o
	3		2 pa^o

J_u=r⁴/8 (pa^o/180^o + sina)

J_x=r⁴/8 (pa^o/180^o + sina - 64sin²(a/2)180^o/9pa^o)

J_x=r⁴/8 (pa^o/180^o - sina)

t_x= (r/2) √(1 + sina/a⁰ * 180⁰/p - (64sina/2) /
(9(a⁰p/180⁰)²))

i_y= (r/2) √(1 - sina/a⁰ *180⁰/p)

Круговое полукольцо

v₀=	4	r²+rr₁+r₁²
v₀=	3p	r+r₁

J_x=0,11(r⁴ - r₁⁴) -
- 0,283 r²r₁² (r-r₁)/(r+r₁)

J_y= p/8 (r⁴ - r₁⁴)

W_x=J_x/(r - v₀)

i_x=√(J_x/F)
i_y=√(J_y/F)
где F-площадь сечения

Сектор кругового кольца

v₀=	4(r³-r₁³)	sin	a180^o
	3(r²-r₁³₎		2 pa^o

J_u=(r⁴ - r₁⁴)(pa^o/180^o + sina)/8

J_x=J_u - Fv²0

J_y=(r⁴ - r₁⁴)(pa^o/180^o - sina)/8

i_x=√(J_x/F)
i_y=√(J_y/F)

Профиль с симметричными
закруглениями

_r=	d
	2

Jx = bd³/12 + pd⁴/64
Jy = bd³/12 + pr²(r² + b² +1,696br)/2

Wx = bd²/6 + pd³/32
Wy=2J_y/(b+d)

Эллипс

Jx = pab³/4 » 0,7854 ab³ Jy = pa³b/4 » 0,7854 a³b

Wx = pab²/4 » 0,7854 ab² Wy = pa²b/4 » 0,7854 a²b

i_x=b/2

i_y=a/2

Квадрат

Jx =Jy =b⁴/12

Wx =Wy =b³/6

i_x=i_y=b/√12=0,289b
i_y=√(J_y/F)

Полый квадрат

Jx =Jy =(b⁴- b₁⁴)/12

Wx =Wy =(b⁴- b₁⁴)/6b

i_x=i_y=0,289b√(b²+b₁²)

Полый тонкостенный
квадрат

_s<	B
	15

Jx =Jy =2B³ s/3

Wx =Wy =4B² s/3

i_x=i_y=B√6=0,408B

Квадрат, поставленный на
ребро

Jx =Jy =b⁴/12

W_x= W_y= (√2b³)/12 =
= 0,118b³

Срез верхнего и нижнего углов увеличивает W_x при срезе углов на С=1/18 диагонали с каждой стороны момент сопротивления увеличивается до Wx =0,124b³

i_x=i_y=0,289b

Полый квадрат,
поставленный на ребро

Jx =Jy =(b⁴- b₁⁴)/12

W_x= W_y=
= (√2(b⁴ - b₁⁴))/12b =
= 0,118(b⁴ - b₁⁴)/b

i_x=i_y=0,289√(b²+b₁²)

Прямоугольник

Jx =ba³/12
Jy =ab³/12

Wx =ba²/6
Wy =ab²/6

i_x=B√12=0,289a
i_y=B√12=0,289a

Прямоугольник
повернутый

v₀=	acosa bsina
	2

Jz=ba (a²cos²a + b²sin²a)/12

Wz=ba (a²cos²a + b²sin²a)/(6(acosa + bsina))

i_x=0,289√(b²cos²a+b²sin²a)

Полый прямоугольник

Jx = (ba³ - b₁a₁³)/12
Jy = (ab³ - a₁b₁³)/12

Wx = (ba³ - b₁a₁³)/6a
Wy = (ab³ - a₁b₁³)/6b

i_x=√((ba³-b₁a₁³)/
(12(ba-b₁a₁))

i_y=√((ab³-a₁b₁³)/
(12(ab-b₁a₁))

Полый тонкостенный
прямоугольник

s=	H
	51

Jx = sH³(3B/H +1)/6
Jy = sB³(3H/B +1)/6

Wx = sH²(3B/H +1)/3
Wy = sB²(3H/B +1)/3

i_x = 0,289H √((3B/H +1)/
(B/H + 1))

i_y = 0,289B √((3H/B +1)/
(H/B + 1))

Сечение из двух равных
прямоугольников

Jx = b(h³ - h₁³)/12
Jy = b³( h - h₁)/12

Wx = b(h³ - h₁³)/6h
Wy = b²( h - h₁)/6

i_x = √((h²+hh₁+h₁²)/12) =
= 0,289√(h²+hh₁+h₁²)

i_y= 0,289b

Треугольник

v₀=	h
	3

Jx = bh³/36
Ju1 = bh³/4
Ju = bh³/12

При вычислении напряжения в вершине треугольника W_x=bh²/24
при вычислении напряжения в точке основания
W_x=bh²/12

i_x=h/3√2=0,236h

Поставленный на ребро
треугольник

Jx = hb³/48

Jx = hb²/24

i_x = (b√(3/2))/6 = 0,204b

Трапеция

v₀=	h(b+2a)
	3(b+a)

J_x=h³(b² + 4ba +a²)/(36(b+a))

При вычислении напряжений в точках верхнего основания

W_x=h²(b² + 4ba +a²)/(12(2b+a))

в точках нижнего основания

W_x=h²(b² + 4ba +a²)/(12(b+2a))

i_x = (h√(2(b² + 4ba + a²)))
/ (6(b + a))

Трапеция

J_x=h³(b⁴ - a⁴)/(48(b-a))

W_x=h(b⁴ - a⁴)/(24(b²-ba))

i_x = √((b² + a²)/24)

Тавр

v₀=	bh₁²+b₁h(2h₁+ h)
	2(bh₁+b₁h)

J_x=(bh₁³⁺ b₁h³)/12 + bh₁(v₀ -h₁/2)² + hb₁(h/2 + h₁- v₀ )² J_y=(hb₁³+ h₁b³)/12

Для нижних волокон
W_x=J_x/v₀ _{Для верхних волокон} W_x=J_x/( h+h₁-v₀) W_y=(hb₁³+ h₁b³)/6b

i_x = √(J_x/F)

i_y = √((h₁b³ + hb₁³)/
(12(bh₁ + b₁h)))

Корытное сечение

v₀=	bh₁²+2b₁h(2h₁+ h)
	2(bh₁+2b₁h)

J_x=(bh₁³⁺ 2b₁h³)/12 + bh₁(v₀ -h₁/2)² + 2hb₁(h/2 + h₁- v₀ )² J_y=(b³(h+h₁)-h(b-2b₁)³)/12

W_x=J_x/ (h+h₁-v₀)
W_y=(b³(h+h₁)-h(b-2b₁)³)/6b

i_x=√(J_x/F)
i_y=√(J_y/F)
где F-площадь сечения

Крестообразное сечение

J_x=(b₁h³+ (b-b₁)h₁³)/12
J_x=(h₁b³+ (h-h₁)b₁³)/12

W_x=(h₁b³+ (b-b₁)h³)/6h
W_x=(h₁b³+ (h-h₁)b₁³)/6b

i_x=√(J_x/F)
i_y=√(J_y/F)

Правильный шестиугольник

Jx =J y=0,06h⁴ или
Jx =Jy=0,541h⁴

Wx =0,12h³=0,625a^{3

W}x =0,541a³

i_x=i_y=0,4565a=0,257h

Правильный
восьмиугольник

Jx=Jy=Jx₁=Jy₁=0,0547h⁴

Wx₁ =W_y1 =0,1095h³ Wx =W_y =0,1012h³

i_x=i_x1=0,257h

Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса

Форма поперечного сечения бруса

Осевой момент инерции J_K, см⁴

Момент сопротивления W_K, см³

Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение t=M_K/W_K

Круглое

J_k=J_p= pd⁴/32»0,1d⁴ или
J_k=J_p= pr⁴/2»1,57r⁴ _{Полярный момент инерции

Jp=2J}

W_k=W_p= pd³/16»0,2d³ или
W_k=W_p= pr³/2»1,57r³ _{Полярный момент сопротивления}_Wp=2W

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Кольцо

d₁/d=a

J_k=J_p= pd⁴(1-a⁴)/32
или
J_k=J_p»0,1d⁴(1-a⁴)

W_k=W_p= pd³/16»(1-a⁴)
или
W_k=W_p»0,2d³(1-a⁴)

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Тонкостенное кольцо

s£0,1d

J_k=pd³s/4
d - средний размер

Ц_k= pd²s/2

Все точки находятся в одинаковых условиях (приближенно)

Незамкнутое тонкостенное
кольцо

s£0,1d

J_k=pd³s/3

J_k=pd²s/3

Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=0

Круглое сечение с лыской

1>h/d>0,5

J_k=d⁴(2,6h/d - 1)/16

Наибольшее напряжение возникает в середине плоского среза (точка А). В узлах t=0

Круглое с круговым
вырезом

D=2R

J_k=K₁R⁴

J_k=R³/K₂

Наибольшее напряжение возникает по дну канавки (точка А)

Значение коэффициентов K₁ и K₂ в зависимости от r/R
r/R	0	0,05	0,1	0,2	0.4	0,6	0,8	1,0	1,5
K₁	1,57	1,56	1,56	1,46	1,22	0,92	0,63	0,38	0,07
K₂	0,64	1,22	1,22	1,23	1,31	1,52	1,91	2,63	7,14

Сплошное эллиптическое

a/b=n³1

J_k=pn³b⁴/(n²+1)

W_k=pnb³/2

Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=t_мах/n

Прямоугольное

h/b³1

J_k=bhb³

W_k=ahb²

Наибольшее напряжение возникает в серединах длинных сторон сечения (в точках А), в точках В напряжение
t=gt_маx=gM_x/W_x

Значение коэффициентов a, b и g в зависимости от h/b
h/b	1.00	1,20	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00	5,00	6,00	8,00	10,00	Св. 10
a	0,208	0,219	0,221	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0.282	0.291	0.299	0,307	0,312	0.333
b	0,141	0,166	0,172	0,196	0,214	0.229	0.249	0,263	0,281	0,291	0.299	0,307	0,312	0.333
g	1 00	0,93	0.91	0,86	0,82	0.79	0,77	0,75	0,74	0,74	0,74	0,74	0,74	-

Правильный шести- или
восьмиугольник

J_k= K'h²F

Для шестиугольника
K'=0,133
Для восьмиугольника
K'=0,130

F- площадь сечения

W_k= KhF

Для шестиугольника
K'=0,217
Для восьмиугольника
K'=0,233

Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0

Равносторонний
треугольник

J_k= b⁴/46,19 = h⁴/25,98

W_k= 0,0053 b³=h³/12,99 =2J_x/h

Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0

12. Расчетные данные для типовых балок постоянного сечения

В таблице приведены: реакции A, М_A (левой опоры) и B, M_B (правой опоры), выражение изгибающего момента М_x = М_x(z) в произвольном сечении с координатой z (начало координат совпадает с центром тяжести левого торца балки - см схему 1), наибольший изгибающий момент М_x_max, уравнение упругой линии v = v(z); значения наибольшего прогиба v_max и углов поворота q₁ и q₁ соответственно крайнего левого сечения и крайнего правого сечения балки в радианах.

Для каждой балки представлены форма упругой линии и эпюра изгибающих моментов

Внешние нагрузки обозначены: М - момент в вертикальной плоскости, совпадающей с осью бруса z; P - сосредоточенная сила и q - интенсивность распределенной нагрузки, действующие в той же плоскости; Е - модуль продольной упругости; J_x - осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси x.

Схема закрепления балки, форма упругой линии, эпюра изгибающих моментов	Реактивные силы и моменты опор	Изгибающий момент в произвольном сечении, наибольший изгибающий момент	Уравнение упругой линии, наибольший прогиб, углы поворота крайних сечений балки
Схема 1	M_A=M	M_x=M M_xmax=M	v=M_z/2EJ v_max=Ml²/2EJ_x при z=l q₁=0 q₂=Ml/EJ_x
Схема 2	A=P M_A=Pl	M_x=P(z-1) Mxmax=Pl M	v=P(z³/3 - lz²)/2EJ_x v_max=Pl³/3EJ_x при z=l q₁=0 q₂= - Pl²/2EJ_x
Схема 3	A=ql M_A=1ql²/2	M_x=q(lz-(l²+z²)/2) Mxmax=ql²/2 M	v=q(2lz³ - 3l²z² - z⁴/2) v_max=-ql⁴/8EJ_x при z=l q₁=0 q₂= - ql²/6EJ_x
Схема 4	A=B+M/l	M_x=-Mz/l (0 £ z £ a) M_x=-M(1-z/l) (0 £ z £ l) при a=1/2 M_xmax=M/2	v=M [-z³ /3l + (z-a)² + (2a - 2l/3 - a²/l)z] / 2EJ_x q₁= M (6a - 3a²/l -2l)/6EJ_x При а=1/2 q₁= q₂= - Ml/6EJ_x
Схема 5	A=P(l-a)/l B=Pa/l	M_x=P(l-a)z/l (0 £ z £ a) M_x=-Pz(l-a)/l - P(z-a) (0 £ z £ l) M_x=-P(l-a)z/l - P(z-a) (0 £ z £ l) при a=1/2 M_xmax=PL/4	v = P/6EJ_x * [((l-a)z³)/l - (z - a³) +((l-a)³z)/l- (l - a)lz] q₁ = - P/6EJ_x [(l-a)/l - ((z - a)/l)³] при a = 1/2 v_max = - Pl³/48EJ_x q₁ = - Pl²/16EJ_x
Схема 6	A=B=ql/2	M_x=qz(l-z)/2 M_xmax=ql²/8	v=a [2lz³ - z⁴ - l³z] / 24EJ_{x vmax=-5ql}⁴/_384EJx _{при z=1/2} q₁= - ql³/24EJ_x q₂= ql³/24EJ_x
Схема 7	A=B=M/l	M_x=- Mz/l (0 £ z £ a) M_x=-M (1 £ z £ l +a) M_xmax=M	v=M [lz - z³/l - (z-l)³/l]/6EJ_x q₁= Ml/6EJ_x
Схема 8	A=Pa/l B=P(a+l)/l	M_x=- Paz/l (0 £ z £ l) M_x=-P(l+a-z) (1 £ z £ a +l) M_xmax=Pa	v=P [alz - az³/l + (a+l)(z-l)³/l]/6EJ_x q₁= Pal/6EJ_x
Схема 9	A=qa²/2l B=q(2a²/l+a)l	M_x=- qa²z/2l (0 £ z £ l) M_x=-q(l+a-z)²/2 (1 £ z £ l +a) M_xmax=qa²/2	v = q / 24EJ_x[a²lz - a²z³/l + 2(2a²/l +a)(z -l)³-(z-l)⁴/2] q₁= qa²l/12EJ_x
Схема 10	A=B=3Ma(2l-a)/2l³ Ma=M(3a/l - 3a²/2l²-1)	M_x=- Az+ M_A (0 £ z £ a) M_x=-Az +M_A+M (a £ z £ l) при a=1 Mxmax=M	v = M/EJ_x[(-a(2l - a)z³)/4l³ + (3a/l - 3a²/2l² - 1)z²/2 + (z-a)²/2] q₁= q q2= M/EJx [(1-a) - 1/4 3(l -a)²/ 4l]
Схема 11	A=11P/16 B=5P/16 Ma=3Pl/16	M_x=P(11z-3l)/16 (0 £ z £ 1/2) M_x=5P(l-z) (1/2 £ z £ l) Mxmax=3Pl/16	v=P [11³ - 9lz²-16(z-l/2)³] /96EJ_x v_max= -0,0093 Pl³/EJ_x при z=0,553l q₁=0 q₂=Pl²/32EJ_x
Схема 12	A=5ql/8 B=3ql/8 Ma=ql²/8	M_x=ql(5z/8 -l/8 -z²/2l) M_xmax=ql²/8	v=ql [5z³ - 3lz²-2z⁴/l]/48EJ_x v_max=-ql⁴/185EJ_x при z=0,597l q₁=0 q₂=ql³_/48EJ_x
Схема 13	A=B=3M/2l Ma=Mb=M/4	M_x=M(1-6z/l)/4 (0 £ z £ 1/2) M_x=M(5-6z/l)/4 (1/2 £ z £ l) Mxmax=M/2	v=M [z²/2 - z³/l+2(z-l/2)²]/4EJ_x v_max=-Ml²/216EJ_x при z=1/3 q₁=q₂=0
Схема 14	A=B=P/2 Ma=Mb=Pl/8	M_x=P(z/2-l/8) (0 £ z £ 1/2) M_x=P((1-z)/2 -1/8) (1/2 £ z £ l) Mxmax=Pl/8	v=P (4z³ - 3lz³)/48EJ_x v_max=-Pl³/192EJ_x при z=1/2l q₁=q₂=0
Схема 15	A=B=ql/2 Ma=Mb=ql²/12	M_x=ql²(z-1/6 -z²/l²)/2 Mxmax=ql²/12	v =-qz² (1-z)²/24EJ_x v_max=-ql⁴/384EJ_x при z=1/2l q₁= q₂=0
Схема 16	A=3Pa/2l B=P(2l+3a)/2l Ma=Pa/2	M_x=Pa(1-3z/l)/2 (0 £ z £ 1) M_x=-P(l+a-z) при z ³l Mxmax=Pa	v = P/4EJ_x [az²-az³/l + (2l +3a)(z -l)³/3l] v_max=Pal²/27EJ_x в пролете при z = 2l/3 при z = 1 +a v = - Pa²/12EJ_x (3l + 4a) q₁= q₂= Pa(1 + 2a)/4EJ_x