b = c sina c = c cosa F = (c2sina cosa)/2 == (c2sin2a)/4
Задано a,b Найти a,b,c,F
tga = a/b; a = 900 - b tgb = b/a; b = 900 - a c = √(a2 + b2) = a/sina = a/cosa; F = (ab)/2
Задано a,c Найти a,b,b,F
sina = a/c; a = 900 - b sinb = a/c; b = 900 - a c = √(c2 - a2) = √(c + a)(c - a) = c cosa = c sinb F = (a/2)√(c + a)(c - a) = (ac sinb) / 2
Косоугольные треугольники 1-й случай (общий)
Рис 2.
Задано а,b,g Найти c,a,b,F
c = √(a2 + b2-2ab cosg) sina = (a sing) / c
tga = (a sing) / (b - a sing) sinb = (b sing) / c
tgb = (b sing) / (a - b cosg) F = (ab sing)/2
Задано a,b,g или а,a,b Найти b,c,F
a = 1800 - (b + g)
b = 1800 - (a + g)
g = 1800 - (a + b) b = (a sinb) / sina = (a sinb) / sin (b + g) c = (a sing) / sina = (a sing) / sin (b + g) F = (a2 sinbsing)/(2sina) = a2/(2(ctgb + ctgg))
2-й случай a > b (поэтому b острый); b < a (рис. 2).
Задано a,b,a Найти b,g,F
c = asinb + bcosa = (a sing) / sin a = bcosa ± √(a2 - b2sin2a) sinb = asina / a cosb = ±√(1 - sin2b)
g = 1800 - (a + b) F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2
3-й случай b > a. Треугольник не вполне определен, возможны два решения: b - 90°
Рис.3
Задано a,b,a Найти b,g,c,F
sinb = bsina / a
cosb = ±√(1 - sin2b)
g = 1800 - (a + b) b c = b cosa ± √(a2 - b2sin2a) F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2
Выражение углов треугольника через стороны и полупериметр
Задано a, b, c Найти a, b, g, F
Полупериметр P=(a+b+c)/2
cosa =(b2+c2-a2)/2bc
sin (b/2) = √((P-a)(P-c)/ac)
cos (a/2) = √(P(P-a)/bc)
sinb = 2F/ac; cosg = (b2+c2-a2)/2ab
sin (a/2) = √((P-b)(P-c)/bc)
cos (g/2) = √(P(P-c)/ab)
sina = 2F/bc; cosb= (a2+c2-b2)/2ac
cos (g/2) = √((P-a)(P-b)/ab)
cos (b/2) = √(P(P-b)/ac)
sing = 2F / ac
F =√(P(P-a)(P-b)(P-c))
3. Правильный многоугольник
n - число сторон; c - сторона многоугольника; R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга; F - площадь многоугольника
